Java语言求解完美数代码分析

作者：袖梨 2022-06-29

1、概念

首先我们理解一下，什么叫做完美数？

问题描述：若一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数。简称“完数”

例如，

  6=1+2＋3
  28=1＋2＋4＋7＋14
  496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
  8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064

按照完数的定义，其实用程序求解完数并不是太难，先求解出这个数的所有真因子，然后相加，判断是否等于它本身即可。但是，在这个数很小的时候，没有什么问题，一旦这个数字超过一定的数值，那么问题就来了，程序的执行效率就会变得低下。

我们优化程序的算法逻辑，往往会考虑一个问题，怎么高效的利用计算机的特性？在它所定义的算法中，有没有大量重复的无用功呢？沿着这样的思路去考虑这个问题，我们会很快得到另外的一种解决方案。

2、说明

2.1分析

在这里，我们会不会很容易就想到，之前我们提到过的分解因式？是的，在解决完美数的时候，我们会用到分解因式。一般来说，求解完美数会经过三个步骤：

1.求出一定数目的质数表

2.利用质数表求指定数的因式分解

3.利用因式分解求所有真因数和，并检查是否为完美数

2.2难点

初看之下，第一步和第二步是没什么问题的，我们在前面的两篇文章中已经探讨过了，不清楚的同学可以查看。

重点是在第三步，如何求真因数和？方法很简单，要先知道将所有真因数（有不清楚真因数概念的同学，去看看）和加上该数本身，会等于该数的两倍（有些同学不知道，现在应该也知道了吧？），例如： 

2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28

事实上，这段等式可以转换为：（代码输入错误，我用截图好了）

发现没有？2和7都是因式分解得到的，那么，程序是不是有了简化的地方？

2.3结论

只要求出因式分解，就可以利用循环求得等式后面的值，将该值除以2就是真因数和了；等式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解，不过会使用到次方运算，可以在进行读取因式分解阵列时，同时计算出等式后面的值。

3、代码 

import java.util.ArrayList; 
// 求解完美数 
public class PerfectNumber { 
  // 传入一个值，求解至少多少个完美数 
  public static int[] lessThan(int number) { 
    int[] primes = Prime.findPrimes(number); 
 
    ArrayList list = new ArrayList(); 
     
    for(int i = 1; i <= number; i++) {  
      int[] factors = factor(primes, i);  
      if(i == fsum(factors))  
        list.add(new Integer(i)); 
    }  
 
    int[] p = new int[list.size()]; 
    Object[] objs = list.toArray();  
    for(int i = 0; i < p.length; i++) { 
      p[i] = ((Integer) objs[i]).intValue(); 
    } 
     
    return p; 
  } 
   
  // 分解因式 
  private static int[] factor(int[] primes, int number) {  
    int[] frecord = new int[number]; 
    int k = 0; 
     
    for(int i = 0; Math.pow(primes[i], 2) <= number;) {  
      if(number % primes[i] == 0) {  
        frecord[k] = primes[i];  
        k++;  
        number /= primes[i];  
      }  
      else  
        i++;  
    }  
 
    frecord[k] = number;  
 
    return frecord;  
  }  
 
  // 因式求和 
  private static int fsum(int[] farr) {  
    int i, r, s, q;  
 
    i = 0;  
    r = 1;  
    s = 1;  
    q = 1;  
 
    while(i < farr.length) {  
      do {  
        r *= farr[i];  
        q += r;  
        i++;  
      } while(i < farr.length - 1 && 
          farr[i-1] == farr[i]);  
      s *= q;  
      r = 1;  
      q = 1;  
    }  
 
    return s / 2;  
  } 
   
  public static void main(String[] args) { 
    int[] pn = PerfectNumber.lessThan(1000); 
    
    for(int i = 0; i < pn.length; i++) { 
      System.out.print(pn[i] + " "); 
    } 
     
    System.out.println(); 
  } 
}

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