从惯性与矩详解惯性矩

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知识点

• 惯性
• 矩
• 惯性矩

1-惯性

惯性是物体保持原有运动状态（静止或匀速直线运动）、抵抗状态改变的固有属性，是物质的基本禀性，在任何条件下均存在，与是否受力、是否运动无关。

牛顿第一定律：任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

惯性大小仅由质量决定，质量越大，惯性越大，改变运动状态越难。

惯性≠力，比如可以说 “物体由于惯性，在运动” 而非 “受到惯性力，在运动”。

惯性与速度无关，比如高速行驶的汽车惯性由质量决定，高速仅增加动量与动能，不改变惯性本身。

2-矩

“矩” 是从拉丁语 momentum 演变而来，最初在力学中表示使物体转动的效应，后来延伸为数学上描述分布状态的核心概念。

矩的核心逻辑是以某参考点或轴为基准，用 “距离” 加权衡量物理量的分布。

矩的本质是「距离的某次幂 × 物理量」的积分或求和。

按 “距离的幂次” 可分为不同阶矩：

• 零阶矩：距离的 0 次幂（即 1）× 物理量，本质是物理量的总和（比如物体总质量）；
• 一阶矩：距离的 1 次幂 × 物理量，描述物理量的 “位置中心”（比如质心，就是质量的一阶矩除以总质量）；
• 二阶矩：距离的 2 次幂 × 物理量，描述物理量相对参考点或轴的分散程度—— 而惯性矩，就是「质量的二阶矩」。

详细解释一下不同阶的矩。

2-1-零阶矩

零阶矩：距离的 0 次幂（即 1）× 物理量，本质是物理量的总和（比如物体总质量）；

2-1-1-基本算法

已知：

• 小球A 和小球B 黏在一起构成了一个物体
• 小球A 的x位置2，质量是4kg
• 小球B 的x位置3，质量是8kg

求：物体的零阶矩

解：

物体的零阶矩是：

通过上面的公式可见：

• 矩的本质是「距离的某次幂 × 物理量」的积分或求和
• 物体的零阶矩就是物体的总质量。

2-2-一阶矩

一阶矩：距离的 1 次幂 × 物理量，描述物理量的 “位置中心”（比如质心，就是质量的一阶矩除以总质量）；

2-2-1-基本算法

已知条件同上面的零阶矩。

求：物体的一阶矩

解：

物体的一阶矩是：

由此可见：

• 矩在用 “距离” 加权衡量物理量的分布。
• 距离与加权的量成正比，即小球的距离越大，对自身质量的加权就越大。

解释一下为什么会有这种距离加权质量的概念。

2-2-2-距离加权质量

假设我把2个小球放在跷跷板的两端，若想让跷跷板保持水平，那我应该如何放置跷跷板的支点？

• 当2个小球质量一样时，支点放跷跷板中间。
• 当2个小球质量不一样时，支点要向质量重的小球偏移。

支点位置的移动，实际上就是在对小球的质量做加权。

通过这个支点，大家应该可以联想到质心的概念。

2-2-3-用一阶矩计算质心

若把跷跷板理解为一条坐标轴，那么支点在此轴上的位置，就是两个小球在此轴上的质心位置。

质心，就是质量的一阶矩除以总质量。

以小球A和小球B构成的物体为例，物体的质心位置就是：

2-3-二阶矩

二阶矩：距离的 2 次幂 × 物理量，描述物理量相对参考点或轴的分散程度—— 而惯性矩，就是“质量的二阶矩”。

2-3-1-基本算法

已知条件同上面的零阶矩。

求：物体的二阶矩

解：

物体的二阶矩是：

由此可见：

• 距离的2次幂决定了距离越大，对质量的加权越大。
• 二阶矩可以描述物理量相对参考点或轴的分散程度，即距离越远，离散程度越大。

大家可以想象一列等距的点绕圆心转一圈的样子：

点距离圆心越远，离散程度越大。

3-惯性矩

惯性矩是质量的二阶矩（距离² × 质量）。

惯性矩的核心是用”距离平方加权“描述质量相对参考轴的分散程度，其数值越大转动惯性越大。

比如，同等质量的物体，因为距离平方的加权，它基于不同参考轴的惯性矩是不一样的。

在上图中，同样质量的长方体，右侧的惯性矩要大于左侧，因为距离b>a，右侧的离散程度更大，距离对质量的加权更大。

惯性矩是刚体转动分析（机器人、机械结构）的核心参数。

惯性矩根据其计算的对象，可分成2种：

• 多零件组合的惯性矩，可理解为离散质点系。
• 单一零件的惯性矩，可理解为连续刚体。

3-1-多零件组合的惯性矩

举例说明多零件组合的惯性矩的应用。

已知：

• 关节D及其旋转轴
• 关节D的末端有3个零件：A、B、C
• 零件A 的质量是0.2kg，其质心到关节D的旋转轴的距离是0.5m
• 零件B 的质量是0.1kg，其质心到关节D的旋转轴的距离是0.4m
• 零件C 的质量是0.3kg，其质心到关节D的旋转轴的距离是0.2m

求：A、B、C 组合基于关节D的旋转轴的惯性矩

公式：

• I：惯性矩（单位：kg・m²，国际单位制）
• mi：第 i 个零件的质量
• ri：第 i 个零件质心到参考轴的垂直距离（关键！不是零件边缘，是质心距离）

解：

A、B、C 组合基于关节D的旋转轴的惯性矩是：

3-2-单一零件的惯性矩

通常我们会假设一个刚体零件密度不变，即均质刚体，然后计算此刚体绕参考轴旋转的惯性矩。

一个刚体零件可以理解为微元集合。如下图所示：

单一均质刚体零件的惯性矩可以用微积分计算：

• dm：微元质量
• r：微元到参考轴的垂直距离

均质刚体的微元质量等于密度乘以微小体积：

dm=ρ⋅dV

• ρ 密度
• dV 微小体积

许多常见的几何体都用现成的惯性矩公式，不用自己算积分。

3-3-常见几何体的惯性矩

均质细杆的惯性矩

均质细杆的质量 M，长度 L，半径R忽略不计

• 当参考轴过质心，与长度方向垂直时：

• 当参考轴过细杆一端，与长度方向垂直时：

此时细杆的质心到参考轴的距离比第一种情况更远，所以分散程度更大，惯性矩更大。

均质圆柱的惯性矩

均质圆柱的质量 M，半径 R，高度 L

• 当参考轴过质心，与长度方向平行时：

​ 上图的圆柱为长条状，惯性矩的质量集中在圆周，分散程度低，惯性矩小。

• 当参考轴过质心，与长度方向垂直时：

​ 上图的圆柱为长条状，惯性矩的质量集中在长度方向，分散程度大，惯性矩大。

均质球体的惯性矩

均质球体的质量 M，半径为R

• 当参考轴过质心(球心)时：

均质正方体的惯性矩

均质立方体的质量 M，边长 a

• 当参考轴过质心，平行于棱时：

• 当参考轴过棱边，平行于棱时：

此时正方体的质心到参考轴的距离比第一种情况更远，所以分散程度更大，惯性矩更大。

均质长方体的惯性矩

均质长方体的质量 M，长 a、宽 b、高 c

当参考轴过质心，与长度方向平行时：

在机器人场景中，均质长方体的惯性矩用的是比较多的。

比如，我们经常会把一个不规则零件以x、y、z轴为参考轴的惯性矩，作为均质长方体的惯性矩。

然后基于这种惯性矩，逆推均质长方体的尺寸。

有了尺寸后，就可以把长方体显示出来。

我们可以根据长方体的形状，大致判断机器人零件的惯性矩数据是否正确。

比如，下图的蓝色长方体就是我对宇树H1机器人的惯性矩做的可视化。

从上图可以看到，蓝色长方体的宽高比，基本与其所在的零件的宽高比一致，这就说明其零件的惯性矩数据比较合理。

由于均质长方体的惯性矩的重要性，同是为了加深大家对惯性矩的理解和认知，我会以均质正方体为例，说一下单一均质刚体的惯性矩公式的积分推导过程。

4-均质正方体惯性矩公式的推导

我们接下来要推导的是：参考轴过质心，平行于棱的均质正方体的惯性矩公式。

这种情况是最常用到的。

4-1-原理分析

单一均质刚体零件的惯性矩需要用微积分计算：

• dm：微小质量元
• r：dm 到参考轴的垂直距离

在微积分的世界里，正方体可以视之为无数个微元的集合，每个微元都有自己的微小质量。

正方体的惯性矩就是（微元到参考轴的距离的平方乘以微元质量）的积分。

以此原理，计算正方体的惯性矩步骤如下：

1.对一个截面中的微元做积分运算。

因为正方体可以视之为垂直于参考轴的截面的集合，所以可以先计算一个截面中的（微元到参考轴的距离的平方乘以微元质量）的积分。如下图所示：

2.对截面做积分运算。

将一个截面的积分延参考轴做积分，就可以得到正方体的惯性矩。

4-2-公式推导

已知：

• 均质正方体边长 a，总质量 M，微元质量dm，密度：ρ（均质物体的ρ为常数）
• 坐标系：原点为正方体的质心，x、y、z 轴分别平行于正方体三条棱
• 惯性矩的参考轴为x轴

求：均质正方体的惯性矩

解：

1.确定均质正方体的惯性矩的微积分公式

设正方体中任一微元的位置是(x,y,z)

任一微元到x轴的距离的是：

任一微元的惯性矩是：

由微元组成的任一垂直于x轴的正方体截面的惯性矩是：

由截面组成的正方体的惯性矩是：

2.确定微元质量表达式

均质刚体微元质量 = 密度 × 微元体积

• ρ 密度
• dV 微元体积

直角坐标系下的微元体积dV：

• dx、dy、dz 分别是微元在x、y、z 轴向的微尺寸

因此，微元质量dm可以写做：

同时，根据正方体的总体积V，总质量M，可推导密度与总质量的关系：

因此，微元质量dm可以写做：

3.将微元质量表达式带入微积分公式

因为密度ρ 是常数，可以提到积分之外：

因为(y²+z²) 与x没有关系，所以上式可以理解为（基于x的单积分）乘以（基于y、z 的二重积分）：

这种拆分方式可以理解为：（正方体的x轴向尺寸a）乘以（正方体中垂直于x轴的任一截面的惯性矩）

4.计算基于x的单积分

根据幂函数积分公式：

计算基于x的单积分：

5.计算基于y、z 的二重积分

根据满足线性性质的二重积分拆分公式：

拆分基于y、z 的二重积分：

因为y² 中没有z，z² 中没有y，所以拆分后的2个二重积分可以分别变换为2个二重积分的相乘：

根据幂函数积分公式：

计算拆分出的一重积分：

整合基于y、z 的二重积分结果：

6.整合所有结果

4-3-作业-推导均质长方体的惯性矩公式

大家可以参考正方体惯性矩公式的推导过程，推导一下均质长方体的惯性矩。

当均质长方体的参考轴过质心，与长度方向平行时，其惯性矩公式为：

5-均质长方体的惯性矩在机器人场景中的应用

5-1-半边长

在机器人场景中，经常会使用宽、高、深的尺寸为2a、2b、2c的均质长方体，如下图所示：

当长方体的尺寸被定义为2a、2b、2c是，a、b、c 就叫做半边长。

这种尺寸定义方式的优点是：质心到面的距离更直观，简化通过惯性矩反向推导尺寸的逻辑。

此时，均质长方体的惯性矩公式就应该是：

5-2-根据惯性矩逆推尺寸

在机器人场景中，我们经常会将机器人零件基于x、y、z 轴的惯性矩当成均质长方体惯性矩。

如下面的标签就是机器人URDF 文件中的一部分，其中的ixx、iyy、izz 就是机器人零件基于x、y、z 轴的惯性矩。

<link name="base">
  <inertial>
    <origin rpy="0.0 0.0 0.0" xyz="0.0 0.0 0.0"/>
    <mass value="0.01"/>
    <inertia ixx="0.0001" ixy="0.0" ixz="0.0" iyy="0.0002" iyz="0.0" izz="0.0003"/>
  </inertial>
</link>

基于此惯性矩逆推出长方体的尺寸，然后结合零件的位置和旋转数据，将长方体可视化。

这种惯性矩可视化的作用是：根据长方体的尺寸比例与零件是否一致，判断零件的惯性矩是否有问题。

根据惯性矩逆推长方体尺寸步骤如下：

1.校验惯性矩的物理合理性

• 基础校验：质量和惯性矩必须非负，否则皆代表惯性矩不合理。

  以下情况皆不合理：

  

• 三角不等式校验：惯性矩的刚体约束。

  任意刚体的三轴惯性矩，必须满足：任意两轴之和≥第三轴。

  以下情况皆不合理：

  

2.构建三元一次方程组，计算尺寸

根据半边长的均质长方体的惯性矩公式，我们可以构建一个三元一次方程组：

解三元一次方程组，可得：

总结

这一章我们从惯性和矩，详解了惯性矩。

惯性大小仅由质量决定。

惯性矩的大小，除了受质量影响，还会受到距离的加成，这也是为什么同等质量的物体在不同参考轴上有不同的惯性矩。

后面我们还以均质正方体为例，推导了它的惯性矩公式。

单零件惯性矩的计算，是要用到微积分的。

若有同学对微积分缺少具象的认知，可以跟我说，我会以几何可视化的方式告诉大家微积分里的一些基本概念。