Pythonnumpy统计与数学指南

Pythonnumpy统计与数学指南并不只看表面做法，关键还要理解相关条件、限制和后续影响。

统计函数

基本统计量

import numpy as nparr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])# 集中趋势print(arr.mean())          # 5.5（均值）print(np.mean(arr))        # 同上（函数形式）print(np.median(arr))      # 5.5（中位数）print(np.average(arr))     # 5.5（加权平均，可传 weights）# 分位数print(np.percentile(arr, 25))   # 3.25（第 25 百分位）print(np.percentile(arr, 50))   # 5.5（= 中位数）print(np.percentile(arr, 75))   # 7.75print(np.quantile(arr, 0.25))   # 同上（0~1 之间）print(np.quantile(arr, [0.25, 0.5, 0.75]))  # 一次算多个# 离散程度print(arr.std())           # 2.87（标准差）print(arr.var())           # 8.25（方差）print(np.ptp(arr))         # 9（极差 = max - min）# 极值print(arr.min())           # 1print(arr.max())           # 10print(arr.sum())           # 55# 累积print(arr.cumsum())        # [1 3 6 10 15 21 28 36 45 55]（前缀和）print(arr.cumprod())       # 累积乘积

沿轴向统计

mat = np.arange(12).reshape(3, 4)# [[ 0  1  2  3]#  [ 4  5  6  7]#  [ 8  9 10 11]]# axis=0: 沿行方向（压缩行，对每列操作）print(mat.sum(axis=0))     # [12 15 18 21] — 每列求和print(mat.mean(axis=0))    # [4. 5. 6. 7.] — 每列均值print(mat.max(axis=0))     # [ 8  9 10 11] — 每列最大值# axis=1: 沿列方向（压缩列，对每行操作）print(mat.sum(axis=1))     # [ 6 22 38] — 每行求和print(mat.mean(axis=1))    # [1.5 5.5 9.5] — 每行均值# keepdims: 保持维度print(mat.sum(axis=1, keepdims=True))  # (3, 1) 而非 (3,)# [[ 6]#  [22]#  [38]]

轴向统计示意图

axis=0 沿行方向（垂直向下）→ 压缩行，得到每列的统计axis=1 沿列方向（水平向右）→ 压缩列，得到每行的统计axis 小口诀: axis=0 是"纵向压扁", axis=1 是"横向压扁"

高级统计函数

arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])# 相关系数x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])print(np.corrcoef(x, y))# [[1.       0.774597]#  [0.774597 1.      ]]# 直方图（计数）hist, bin_edges = np.histogram(arr, bins=3)print(hist)        # [2 2 2]print(bin_edges)   # [1.  2.667 4.333 6.  ]# 数字化（找每个值落入哪个 bin）bins = np.array([0, 3, 7, 10])print(np.digitize([1, 5, 8, 9], bins))  # [1 2 3 3]# 加权平均values = np.array([1, 2, 3, 4])weights = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])print(np.average(values, weights=weights))  # 3.0# 协方差print(np.cov(x, y))# 差异print(np.diff(arr))           # [1 1 1 1 1] — 相邻差print(np.diff(arr, n=2))      # [0 0 0 0] — 二阶差分# 梯度（多维偏导）mat = np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]])print(np.gradient(mat))       # 每个维度的梯度# 排序print(np.sort([3, 1, 4, 1, 5]))  # [1 1 3 4 5]arr = np.array([3, 1, 4, 1, 5])arr.sort()                        # 原地排序# argsort: 返回排序后的索引idx = np.argsort([3, 1, 4, 1, 5])print(idx)  # [1 3 0 2 4] — 按值排序后的原索引# argmax / argmin: 极值索引arr = np.array([10, 5, 30, 20])print(arr.argmax())    # 2（最大值 30 的位置）print(arr.argmin())    # 1（最小值 5 的位置）# NaN 安全版本arr = np.array([1.0, np.nan, 3.0, np.nan, 5.0])print(np.nanmean(arr))     # 3.0（忽略 NaN）print(np.nanstd(arr))      # 忽略 NaN 的标准差print(np.nansum(arr))      # 忽略 NaN 的求和print(np.nan_to_num(arr, nan=0))  # NaN → 0: [1. 0. 3. 0. 5.]

线性代数（np.linalg）

A = np.array([[1, 2],              [3, 4]])B = np.array([[5, 6],              [7, 8]])

矩阵基本运算

# 矩阵乘法print(A @ B)print(np.dot(A, B))print(np.matmul(A, B))# 矩阵求逆print(np.linalg.inv(A))# [[-2.   1. ]#  [ 1.5 -0.5]]# 矩阵的幂print(np.linalg.matrix_power(A, 3))   # A @ A @ A# 行列式print(np.linalg.det(A))               # -2.0# 迹print(np.trace(A))                    # 1 + 4 = 5# 转置print(A.T)# 秩print(np.linalg.matrix_rank(A))       # 2# 条件数print(np.linalg.cond(A))

特征值与特征向量

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print(eigenvalues)                    # [-0.3723  5.3723]print(eigenvectors)# 验证: A·v = λ·vfor i in range(len(eigenvalues)):    Av = A @ eigenvectors[:, i]    lv = eigenvalues[i] * eigenvectors[:, i]    print(np.allclose(Av, lv))        # True

SVD（奇异值分解）

U, S, Vt = np.linalg.svd(A)print(U.shape, S.shape, Vt.shape)    # (2,2) (2,) (2,2)# 重构: A = U @ diag(S) @ VtA_reconstructed = U @ np.diag(S) @ Vtprint(np.allclose(A, A_reconstructed))  # True

解线性方程组

# 解 Ax = bA = np.array([[3, 1], [1, 2]])b = np.array([9, 8])x = np.linalg.solve(A, b)print(x)            # [2. 3.]print(A @ x)        # [9. 8.] ✓# 最小二乘解（超定/欠定方程组）A = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])b = np.array([1, 2, 2])x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)print(x)            # [0.6667 0.5   ] — 最佳拟合

范数

v = np.array([3, 4])print(np.linalg.norm(v))             # L2: 5.0 (默认)print(np.linalg.norm(v, ord=1))      # L1: 7.0print(np.linalg.norm(v, ord=np.inf)) # L∞: 4.0# 矩阵范数print(np.linalg.norm(A, ord='fro'))  # Frobenius: sqrt(1²+2²+3²+4²)print(np.linalg.norm(A, ord=2))      # 谱范数（最大奇异值）

其他 linalg 函数

# QR 分解Q, R = np.linalg.qr(A)# Cholesky 分解（需对称正定）A_spd = np.array([[4, 1], [1, 3]])L = np.linalg.cholesky(A_spd)print(L @ L.T)  # 等于 A_spd# LU 分解from scipy.linalg import lu# SciPy 提供更完整的分解# 张量点积A = np.arange(24).reshape(2, 3, 4)B = np.arange(20).reshape(4, 5)print(np.tensordot(A, B, axes=([2], [0])).shape)  # (2, 3, 5)

随机数模块

新版 API（推荐）—np.random.default_rng()

# 创建随机数生成器rng = np.random.default_rng(seed=42)# 均匀分布rng.uniform(0, 1, 10)              # [0,1) 均匀rng.integers(0, 100, 10)           # [0,100) 整数rng.random(10)                      # 等同于 uniform(0, 1)# 正态分布rng.standard_normal((3, 4))         # N(0, 1)rng.normal(loc=5, scale=2, size=(3, 4))  # N(5, 4)# 其他分布rng.exponential(scale=1.0, size=10)     # 指数分布rng.poisson(lam=3, size=10)             # 泊松分布rng.binomial(n=10, p=0.5, size=10)      # 二项分布rng.chisquare(df=2, size=10)            # 卡方分布rng.gamma(shape=2, scale=1, size=10)    # Gamma 分布rng.beta(a=2, b=5, size=10)             # Beta 分布rng.laplace(loc=0, scale=1, size=10)    # 拉普拉斯分布rng.lognormal(mean=0, sigma=1, size=10) # 对数正态# 排列与抽样arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5])rng.shuffle(arr)                        # 原地打乱print(rng.permutation(arr))             # 返回打乱副本print(rng.choice(arr, size=3, replace=False))  # 不放回抽样print(rng.choice(arr, size=10, replace=True))  # 有放回抽样print(rng.choice(arr, size=3, p=[0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.2]))  # 带概率

旧版 API（兼容）—np.random.

# 旧版（全局状态，不推荐新代码使用）np.random.seed(42)np.random.rand(3, 4)                   # [0,1) 均匀np.random.randn(3, 4)                  # N(0,1)np.random.randint(0, 100, (3, 4))      # 整数np.random.normal(0, 1, (3, 4))          # 正态np.random.uniform(0, 1, (3, 4))         # 均匀np.random.shuffle(arr)                   # 打乱np.random.choice(arr, 5)                # 抽样

固定随机种子（可复现）

# 新版rng = np.random.default_rng(42)result1 = rng.normal(0, 1, 1000)# 旧版np.random.seed(42)result2 = np.random.randn(1000)# 确保整个程序的随机性都可复现RANDOM_SEED = 42rng = np.random.default_rng(RANDOM_SEED)

速查表

总结